Giải phương trình: `(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x`

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{3x² + 4x + 5 = 3x² + 4x + $\dfrac{4}{3}$ + $\dfrac{11}{3}$.}$

$\text{= ( $\sqrt{3}$x + $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ )² + $\dfrac{11}{3}$ ≥ $\dfrac{11}{3}$.}$

$\text{→ Đặt a = $\sqrt{3x² + 4x + 5}$. ( a ≥ $\sqrt{\dfrac{11}{3}}$ ).}$

$\text{⇒ a² = 3x² + 4x + 5 ⇔ a² + 1 = 3x² + 4x + 6.}$

$\text{→ Phương trình ⇔ ( a² + 1 )a = 27x³ + 3x.  ( x > 0 ).}$

$\text{⇔ a³ + a - 27x³ - 3x = 0.}$

$\text{⇔ ( a³ - 27x³ ) + ( a - 3x ) = 0.}$

$\text{⇔ ( a - 3x )( a² + 3ax + 9x² ) + ( a - 3x ) = 0}$

$\text{⇔ ( a - 3x )( a² + 3ax + 9x² + 1 ) = 0.}$

$\text{→ Xét trường hợp : a² + 3ax + 9x² + 1 = 0.}$

$\text{⇔ $\dfrac{9}{4}$x² + 3ax + a² + 1 + $\dfrac{27}{4}$x² = 0}$

$\text{⇔ ( $\dfrac{3}{2}$x + a )² + $\dfrac{27x²}{4}$ + 1 = 0.}$

$\text{→ Ta dễ dàng thấy đẳng thức trên là vô lí.}$

$\text{⇒ a - 3x = 0 ⇔ a = 3x ⇔ a = 3x.}$

$\text{⇔ a² = 9x² ⇔ 3x² + 4x + 5 = 9x²}$

$\text{⇔ 6x² - 4x - 5 = 0.}$

$\text{⇔ x = $\dfrac{4 ± \sqrt{136}}{12}$ = $\dfrac{2 ± \sqrt{34}}{6}$.}$

$\text{→ Vì x > 0 nên x = $\dfrac{2 + \sqrt{34}}{6}$.}$

$\text{⇒ S = { $\dfrac{2 + \sqrt{34}}{6}$ }.}$