Giải phương trình nghiệm nguyên: `x^2 + y^2 -x-y=8`

`x^2+y^2-x-y=8`

`<=>4x^2+4y^2-4x-4y=32`

`<=>(4x^2-4x+1)+(4y^2-4y+1)=32+1+1`

`<=>(2x-1)^2+(2y-1)^2=34`

Để pt có nghiệm nguyên thì `x,y\inZZ` nên `(2x-1)^2` và `(2y-1)^2` phải là `2` số chính phương.

Ta có: `2x,2y` đều là số chẵn nên `(2x-1)^2` và `(2y-1)^2` là số chính phương lẻ.

`=>34=3^2+5^2;5^2+3^2;(-3)^2+(-5)^2;(-5)^2+(-3)^2;(-3)^2+5^2;(-5)^2+3^2`

`TH_1:` 

`=>` $\begin{cases} 2x-1=3\\2y-1=5 \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=2\\y=3 \end{cases}$ (nhận)

`TH_2:`

`=>` $\begin{cases} 2x-1=5\\2y-1=3 \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=3\\y=2 \end{cases}$ (nhận)

`TH_3:`

`=>` $\begin{cases} 2x-1=-3\\2y-1=-5 \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=-1\\y=-2 \end{cases}$ (nhận)

`TH_4:`

`=>` $\begin{cases} 2x-1=-5\\2y-1=-3 \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=-2\\y=-1 \end{cases}$ (nhận)

`TH_5:`

`=>` $\begin{cases} 2x-1=-3\\2y-1=5 \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=-1\\y=3 \end{cases}$ (nhận)

`TH_6:`

`=>` $\begin{cases} 2x-1=-5\\2y-1=3 \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=-2\\y=2 \end{cases}$ (nhận)

Vậy cặp số nguyên `(x,y)` thõa mãn:
`{(2,3);(3,2);(-1,-2);(-2,-1);(-1,3);(-2,2)}`