SOS mn ơiii!@!!!!!!

Giải thích các bước giải:

1.Vì $Ax, By$ là tiếp tuyến của $(O)\to Ax\perp OA, By\perp OB$
$\to \widehat{MAI}=\widehat{MEI}=90^o,\widehat{IEN}=\widehat{NBI}=90^o$

$\to AMEI, NEIB$ nội tiếp đường tròn đường kính $IM, IN$

2.Ta có:

$\widehat{ENI}=\widehat{EBI}$ vì $BIEN$ nội tiếp

Xét $\Delta IMN,\Delta AEB$ có:

$\widehat{IMN}=\widehat{IME}=\widehat{EAI}=\widehat{AEB}$

$\widehat{INM}=\widehat{INE}=\widehat{IBE}=\widehat{ABE}$

$\to \Delta IMN\sim\Delta EAB(g.g)$

$\to \dfrac{IM}{EA}=\dfrac{IN}{EB}$

$\to AE\cdot IN=BE\cdot IM$

3.Từ câu 2 $\to \widehat{MIN}=\widehat{AEB}=90^o$

$\to \widehat{PEQ}=\widehat{PIQ}=90^o$

$\to EPIQ$ nội tiếp đường tròn đường kính $PQ$

$\to\widehat{EQP}=\widehat{EIP}=\widehat{EIM}=\widehat{EAM}=\widehat{EBA}$

$\to PQ//AB$

Mà $AB\perp BN$
$\to PQ\perp BN$

4.Vì $F$ nằm chính giữa cung $AB\to EF$ là phân giác $\widehat{AEB}$

$\to EI$ là phân giác $\widehat{AEB}$

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{\dfrac12R}{\dfrac32R}=\dfrac13$

$\to \dfrac{EA}1=\dfrac{EB}3$

$\to\dfrac{EA^2}1=\dfrac{EB^2}9=\dfrac{EA^2+EB^2}{1+9}=\dfrac{AB^2}{10}=\dfrac{4R^2}{10}=\dfrac{2R^2}5$

$\to EA=\dfrac{R\sqrt{10}}5, EB=\dfrac{3\sqrt{10}R}5$

Xét $\Delta AIM,\Delta BIN$ có:

$\hat A=\hat B(=90^o)$

$\widehat{AIM}=90^o-\widehat{NIB}=\widehat{INB}$

$\to\Delta AIM\sim\Delta BNI(g.g)$

$\to \dfrac{IA}{NB}=\dfrac{AM}{BI}$

$\to AM\cdot BN=IA\cdot IB=\dfrac12R\cdot\dfrac32R=\dfrac34R^2$

Gọi $OF\cap (O)=C,C\ne F$

$\to FC$ là đường kính của $(O)$

$\to FE\perp EC$

Mà $FE\perp MN$ tại $E\to M,E,C, N$ thẳng hàng

$\to C\in MN$

Mà $OC//AM//BN, O$ là trung điểm $AB\to OC$ là đường trung bình hình thang $ABNM$

$\to AM+BN=2OC=2R$

Mà $AM\cdot BN=\dfrac34R^2$

$\to AM, BN$ là nghiệm của phương trình:

$x^2-2R\cdot x+\dfrac34R^2=0$

$\to x\in\{\dfrac32R, \dfrac12R\}$

$\to AM=\dfrac12R, BN=\dfrac32R$

$\to S_{OMN}=S_{ABNM}-S_{OMA}-S_{ONB}$

$\to S_{OMN}=\dfrac12(AM+BN)\cdot AB-\dfrac12AM\cdot AO-\dfrac12BN\cdot OB$

$\to S_{OMN}=\dfrac12\cdot 2R\cdot 2R-\dfrac12\cdot\dfrac12R\cdot R-\dfrac12\cdot\dfrac32R\cdot \dfrac32R$

$\to S_{OMN}=\dfrac58R^2$