Cho x và y là hai số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `Q = (1+1/x)(1+1/y)`

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{Q = ( 1 + $\dfrac{1}{x}$ )( 1 + $\dfrac{1}{y}$ )}$

$\text{= $\dfrac{1}{x}$ + $\dfrac{1}{y}$ + $\dfrac{1}{xy}$ + 1}$

$\text{≥ $\dfrac{( 1 + 1 )²}{x + y}$ + $\dfrac{1}{xy}$ + 1   ( Buninhacopski ).}$

$\text{= $\dfrac{4}{1}$ + $\dfrac{1}{xy}$ + 1}$

$\text{= $\dfrac{1}{xy}$ + 5.}$

$\text{→ Lại có :}$

$\text{$\dfrac{1}{x}$ + $\dfrac{1}{y}$ ≥ $\dfrac{4}{x + y}$. ( Cosi ).}$

$\text{⇔ $\dfrac{x + y}{xy}$ ≥ 4 ⇔ $\dfrac{1}{xy}$  ≥ 4}$

$\text{⇒ Q ≥ 9.}$

$\text{→ Dấu ''='' xảy ra ⇔ x = y = $\dfrac{1}{2}$.}$