Cho tam giác ABC biết AB=10cm, AC=12cm và BC=15cm, đường cao AH, phân giác AD, trung tuyến AM. a) Hãy tính độ dài AH, AD, AM b) Trong ba điểm H,M,D điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? c) Hỏi độ dài các đoạn thẳng AH, AD, AM có thể là độ dài của 3 cạnh của một tam giác không? Vì sao? d) Đối với ý b) và c) với tam giác bất kì có đúng không? Nếu đúng hãy chứng minh, nếu sai em có thể chỉ ra phản ví dụ được không

Giải thích các bước giải:

a.Vì $M$ là trung tuyến $\Delta ABC\to MB=MC=\dfrac12BC=7.5$

        $AD$ là phân giác $\hat A$

$\to \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac56$

$\to \dfrac{BD}5=\dfrac{DC}6=\dfrac{DB+DC}{5+6}=\dfrac{BC}{11}=\dfrac{15}{11}$

$\to BD=\dfrac{75}{11}, DC=\dfrac{90}{11}$

Ta có: $AH\perp BC$

$\to AH^2=AB^2-BH^2=AC^2-CH^2$

$\to BH^2-CH^2=AB^2-AC^2$

$\to (BH-CH)(BH+CH)=-44$

$\to (BH-CH)\cdot 15=-44$

$\to BH-CH=-\dfrac{44}{15}$

$\to BH+CH-2HC=-\dfrac{44}{15}$

$\to BC-2HC=-\dfrac{44}{15}$

$\to 2HC=BC+\dfrac{44}{15}$

$\to 2HC=15+\dfrac{44}{15}$

$\to HC=\dfrac{269}{30}$

$\to AH=\sqrt{AC^2-CH^2}\approx 2.82$

     $HD=HC-DC=\dfrac{269}{30}-\dfrac{90}{11}=\dfrac{259}{330}\to AD=\sqrt{AH^2+HD^2}\approx 2.93$

     $HM=HC-CM=\dfrac{269}{30}-7.5=\dfrac{22}{15}\to AM=\sqrt{AH^2+HM^2}\approx 3.18$

b.Từ câu a $\to CM<CD<CH$

$\to D$ nằm giữa $M, H$

c.Ta có: $AH<AD<AM$ và $AD-AH<AM<AD+AH$

$\to AH,AD, AM$ có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác

d.Với tam giác bất kỳ ý $c$ không đúng ví dụ $\Delta ABC$ cân tại $A, \to H, M, D$ đồng quy

$\to $Không có điểm nào nằm giữa $2$ điểm còn lại