Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: $\sqrt[]{a^{2}+1}$ + $\sqrt[]{b^{2}+1}$ + $\sqrt[]{c^{2}+1}$ 2(a+b+c)

`sqrt(a^2 + 1)`

`= sqrt(a^2 + ab + ac + bc)`

`= sqrt((a + b)(a + c))`

`<= (a + b + a + c)/2` (AM - GM)

`= (2a + b + c)/2`

Tương tự:

`sqrt(b^2 + 1) <= (2b + a + c)/2`

`sqrt(c^2 + 1) <= (2c + a + b)/2`

Cộng vế - vế:

`VT <= (4a + 4b + 4c)/2 = 2(a + b + c)`

Dấu "=" xảy ra khi: `a = b = c = sqrt3/3.`