Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AC (M khác A, C). Đường thẳng qua điểm 0. vuông góc với đường thắng OM cắt đường thẳng BC tại điểm N. Tia AN cắt tia DB tại điểm E. Gọi F là chân đường vuông góc của B đến đường thẳng CE. 1. Chứng minh rằng tứ giác MONC nội tiếp 2. Chứng minh CO.CD= CF.CE và AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE 3. M thay đổi trên AC chứng minh rằng NF luôn đi qua điểm cố định

Giải thích các bước giải:

1.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$

$\to \widehat{MCN}=\widehat{MON}=90^o$

$\to MONC$ nội tiếp đường tròn đường kính $MN$

2.Vì $CD$ là đường kính của $(O)\to CB\perp BD$

        $CD\perp AB=O$

$\to CB^2=CO\cdot CD$

Ta có: $\Delta CBE$ vuông tại $B, BF\perp CE$

$\to CB^2=CF\cdot CE$

$\to CO\cdot CD=CF\cdot CE$

Mặt khác $CB^2=CF\cdot CE$(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: $CA=CB$ vì $CD\perp AB=O\to CD$ là trung trực $AB$

$\to CA^2=CF\cdot CE$

$\to \dfrac{CA}{CF}=\dfrac{CE}{CA}$

Do $\widehat{FCA}=\widehat{ACE}$

$\to \Delta CAF\sim\Delta CEA(c.g.c)$

$\to \widehat{CAF}=\widehat{CEA}=\widehat{ACF}$

$\to CA$ là tiếp tuyến của $(AEF)$

3.Ta có: $\widehat{CFB}=\widehat{COB}=90^o\to CFBO$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Xét $\Delta COF,\Delta CED$ có:

Chung $\hat C$

$\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{CE}{CD}$ vì $CO\cdot CD=CF\cdot CE$

$\to \Delta COF\sim\Delta CED(c.g.c)$

$\to \widehat{COF}=\widehat{CED}$

Ta có: $COBF$ nội tiếp

$\to \widehat{COF}=\widehat{CBF}=90^o-\widehat{FBE}=\widehat{BEF}=\widehat{CED}=\widehat{COF}$

$\to O, N, F$ thẳng hàng

$\to NF$ đi qua $O$ cố định