Cho ΔABC.Về phía ngoài ΔABC dựng 1 hình bình hành ABEF,ACGH..Gọi I,K,M lần lượt là trung điểm FH,EG,BC.Chứng minh IK // AM

Đáp án:

Gọi giao điểm của $AE$ và $BF$ là $Q$.

Và giao điểm của $AG$ và $HC$ là $N$.

Hình bình hành $AEBF$ có hai đường chéo $AE,BF$

Và $AE\cap BF=Q\Rightarrow Q$ là trung điểm của $AE,BF$.

Hình bình hành $ACGH$ có hai đường chéo $AG,HC$

Và $AG\cap HC=N\Rightarrow N$ là trung điểm của $AG,HC$.

Xét $\Delta BHF$ ta có:

$I$ là trung điểm của $HF$ (giả thiết).

$Q$ là trung điểm của $BF$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow IQ$ là đường trung bình của $\Delta BHF$
$\Rightarrow IQ=\dfrac12BH$ và $IQ//BH$.
Xét $\Delta BCH$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

$N$ là trung điểm của $HC$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta BCH$
$\Rightarrow MN=\dfrac12BH$ và $MN//BH$.
Mà $IQ=\dfrac12BH$ và $IQ//BH$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow MN=IQ$ và $MN//IQ$

Xét tứ giác $MNIQ$ ta có:

$MN=IQ$ (chứng minh trên).

$MN//IQ$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow MNIQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Gọi $O$ là giao điểm của $IM$ và $NQ$.

Hình bình hành $MNIQ$ có hai đường chéo $IM,NQ$

Và $IM\cap NQ=O\Rightarrow O$ là trung điểm của $IM,NQ$.

Xét $\Delta AGE$ ta có:

$K$ là trung điểm của $EG$ (giả thiết).

$N$ là trung điểm của $AG$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow NK$ là đường trung bình của $\Delta AGE$
$\Rightarrow NK=\dfrac12AE=AQ$ và $NK//AQ$.
Xét tứ giác $AQKN$ có:

$NK=AQ$ (chứng minh trên).

$NK//AQ$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow AQKN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà $O$ là trung điểm của đường chéo $NQ$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của đường chéo $AK$.

Xét tứ giác $AMKI$ có:

$O$ là trung điểm của $IM$ (chứng minh trên).

$O$ là trung điểm của $AK$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow AMKI$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow IK//AM$ (hai cạnh đối song song).