Cho ΔABC.Về phía ngoài ΔABC vẽ các Δ đều ABD tâm O và ACE tâm I.Gọi M,N lần lượt là trung điểm BC,DE.Chứng minh MN OI

Đáp án:

Gọi giao điểm của $AO$ và $BD$ là $F$.

Và giao điểm của $AI$ và $CE$ là $K$.

$O$ là tâm của tam giác đều $\Delta ABD$.

$\Rightarrow O$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.

$AF$ đi qua trọng tâm $O$ của $\Delta ABD$

$\Rightarrow AF$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$.

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $BD$.

$I$ là tâm của tam giác đều $\Delta ACE$.

$\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\Delta ACE$.

$AK$ đi qua trọng tâm $I$ của $\Delta ACE$.

$\Rightarrow AK$ là đường trung tuyến của $\Delta ACE$.

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $CE$.

Ta có $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ đều.

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{EAC}=60^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{BAC}=\widehat{EAC}+\widehat{EAC}$

$\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{BAE}$ (cặp góc kề nhau).

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có:

$AB=AD$ ($\Delta ABD$ đều).

$\widehat{CAD}=\widehat{BAE}$ (chứng minh trên).

$AC=AE$ ($\Delta ACE$ đều).

$\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow BE=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta BDE$ có:

$M$ là trung điểm của $DE$ (giả thiết).

$F$ là trung điểm của $BD$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow MF$ là đường trung bình của $\Delta BDE$.
$\Rightarrow MF=\dfrac12BE$ và $MF//BE$.
Xét $\Delta BCE$ có:

$N$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

$K$ là trung điểm của $CE$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow NK$ là đường trung bình của $\Delta BCE$

$\Rightarrow NK=\dfrac12BE$ và $NK//BE$
Mà $MF=\dfrac12BE$ và $MF//BE$
$\Rightarrow MF=NK$ và $MF//NK$.

Xét tứ giác $MKNF$ có:

$MF=NK$ (chứng minh trên).

$MF//NK$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow MKNF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét $\Delta BCD$ có: 

$N$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

$F$ là trung điểm của $BD$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow NF$ là đường trung bình của $\Delta BCD$
$\Rightarrow NF=\dfrac12CD=\dfrac12BE=AF$.
$\Rightarrow MKNF$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow MN\,\bot\,KF$ (hai đường chéo vuông góc).

Ta có $AF$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$
Và trọng tâm $O\in AF\Rightarrow\dfrac{AO}{AF}=\dfrac23$.
Ta có $AK$ là đường trung tuyến của $\Delta ACE$
Và trọng tâm $I\in AK\Rightarrow\dfrac{AI}{AK}=\dfrac23$.
Xét $\Delta AFK$ ($O\in AF,I\in KF$) ta có:
Có $\dfrac{AO}{AF}=\dfrac{AI}{AK}$ (=$\dfrac23$, chứng minh trên)
$\Rightarrow IO//FK$ (định lý Thales đảo) mà $MN\,\bot\,FK$

$\Rightarrow MN\,\bot\,OI$ (từ vuông góc đến song song đảo).