Câu hỏi 60 điểm : Toán nâng cao lớp 9 : Hãy giải toàn bộ bài 3 ! Vì đây là 60 điểm nên toàn bộ bài 3 là hợp lý rồi nhé ! Mình cần lời giải của từng ý một Không cần quá chi tiết nhưng đủ ý và đủ để hiểu ! Dùng các kiến thức trong phạm vi toán nâng cao lớp 9 nhé ! Mình cần sớm nhất có thể ! Mình sẽ tính 5*, cảm ơn , câu trả lời hay nhất nếu đáp án đúng ! Mình sẽ hỏi lại những chỗ mình chưa hiểu nhé !

`1)`

Do số chính phương chỉ kết thúc bằng các số `0`, `4`, `5`, `6`, `9`

Lại có `a,b,c` không chia hết cho `5`

`=>` Số dư của `a^2`, `b^2` và `c^2` khi chia cho `5` có thể là `1` hoặc `-1`

`=>` Trong ba số `a^2`, `b^2` và `c^2` sẽ có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho `5`

`=>` Sẽ có ít nhất một hiệu giữa hai số trong các số trên sẽ chia hết cho `5`

`=>` đpcm

`2.1)`

Ta có: `x^3+x^2y+9xy+9y^2=p^3` với `p` là một số nguyên tố

`<=>` `x^2(x+y)+9y(x+y)=p^3`

`<=>` `(x+y)(x^2+9y)=p^3`

`=>` `(x+y)` và `(x^2+9y)` là ước của `p^3`

TH1: `{(x+y=1),(x^2+9y=p^3):}`

`=>` `{(x=(9+-sqrt(45 + 4p^3))/2),(y=-x+1):}`

Để `x` nguyên dương thì `45+4p^3` là số chính phương

Giải và tìm thì ta thấy không có số nào thỏa mãn

TH2: `{(x+y=p),(x^2+9y=p^2):}`

`=>` `{(x=9-p \text( hoặc ) x = p),(y=-x+p):`

 `=>` `{(x=9-p),(y=-x+p):}` và `2 <= p < 9`

`+` `p=2` `=>` `{(x=7),(y=-5):}` (Loại)

`+` `p=3` `=>` `{(x=6),(y=-3):}` (Loại)

`+` `p=5` `=>` `{(x=4),(y=1):}` (T/m)

`+` `p=7` `=>` `{(x=2),(y=5):}` (T/m)

Vậy `(x;y)=(4;1)` hoặc `(x;y)=(2;5)`

`2.2)`

Ta có: `x(x^2-6x+12)=y^3+27`

`<=>` `x^3-6x^2+12x-8-y^3=19`

`<=>` `(x-2)^3-y^3=19`

`<=>` `(x-2-y)[(x-2)^2+(x-2)y+y^2]=19`

Do `(x-2)^2+(x-2)y+y^2 >= 0` và là ước của `19` nên ta có hai trường hợp sau:

TH1: `{(x-2-y=1),((x-2)^2+(x-2)y+y^2=19):}`

`<=>` `(x;y)=(5;2)` hoặc `(x;y)=(0;-3)`

TH2: `{(x-2-y=19),((x-2)^2+(x-2)y+y^2=1):}` (Vô nghiệm)

Vậy `(x;y)=(5;2)` hoặc `(x;y)=(0;-3)`

`3)`

Ta có: `m^2019 + n^2019 = p^2019`

Giả sử phương trình trên có các nghiệm `m_1,n_1,p_1`

`=>` `m_1^2019 + n_1^2019 = p_1^2019`

`<=>` `(m_1/p_1)^2019 + (n_1/p_1)^2019=1`

Đặt `a=(m_1n_1)/p_1`. Do `m_1,n_1,p_1` nguyên dương nên `a > 0` và `a in QQ`

`=>` `(m_1/p_1)^2019*(n_1/p_1)^2019=a^2019`

Đặt `u=(m_1/p_1)^2019` và `v=(n_1/p_1)^2019`

Khi đó, `u + v=1` và `uv=a^2019`. Theo định lí Viet đảo thì `u,v` lần lượt là các nghiệm của phương trình ẩn `t`: `t^2-t+a^2019=0`

Từ đó, ta có: `u,v = (1+-sqrt(1-4a^2019))/2`

`=>` `u,v` hữu tỉ `<=>` `sqrt(1-4a^2019)` hữu tỉ

`<=>` `1-4a^2019=b^2` `(b in QQ)`

`<=>` `a^2-4a^2021=a^2b^2`

`<=>` `4a^2021-a^2+[1/2a+a(b-1/2)]^2=0`

Đặt `c=a(b-1/2)` và `c in QQ`

`=>` `4a^2021-a^2+(1/2a+c)^2=0`

`<=>` `4a^2021-3/4a^2+ac+c^2=0`

Nếu `c=0` `=>` `4a^2(a^2019-3/16)=0`

`<=>` `a=0` hoặc `a=\root(2019)(3/16)`

`=>` Mâu thuẫn với giả thiết

Nếu `c ne 0` và `c in QQ` thì phương trình đã cho là một phương trình đại số có bậc `5` trở lên và thuộc loại phương trình không giải được bằng căn thức (Vì nó thỏa mãn các điều kiện không giải được của lí thuyết Évariste Galios). Nên nghiệm `a` là một số vô tỉ mẫu thuẫn với giả thiết.

`=>` đpcm

$\\$

`\bb\color{#33a4f5}{\text{@hoanganhnguyen09302}}`