giúp mình câu này với ạ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$x^2 - 2(m - 1)x + 3m - 7 = 0(a = 1; b = -2(m - 1); c = 3m - 7)$ 

$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4(3m - 7)$

$= 4(m^2 - 2m + 1) - 12m + 28$

$= 4m^2 - 8m + 4 - 12m + 28$

$= 4m^2 - 20m + 32$

$= 4m^2 - 20m + 25 + 7$
$= (2m - 5)^2 + 7 > 0$`AA m`

$\Rightarrow$ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$

Theo định lý Viet, ta có:
$\begin {cases} S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2(m - 1)}{1} = 2m - 2 \\ P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3m - 7}{1} = 3m - 7 \end {cases}$
Ta có: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ dương

$\Rightarrow \begin {cases} S > 0 \\ P > 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 2m - 2 > 0 \\ 3m - 7 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} m > 1 \\ m > \dfrac{7}{3} \end {cases}$
$\Rightarrow m > \dfrac{7}{3}$

Ta có:
$5x_1^2 + 2x_2^2 + 6x_1x_2 - 4m(m - 2) = 125$

$\Leftrightarrow 5x_1^2 + 2x_2^2 + 6x_1x_2 - 4m^2 + 8m = 125$

$\Leftrightarrow 5x_1^2 + 2x_2^2 + 6x_1x_2 - 4m^2 + 8m - 4 = 121$

$\Leftrightarrow 5x_1^2 + 2x_2^2 + 6x_1x_2 - (x_1 + x_2)^2 = 121$

$\Leftrightarrow 5x_1^2 + 2x_2^2 + 6x_1x_2 - x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 = 121$

$\Leftrightarrow 4x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = 121$

$\Leftrightarrow (2x_1 + x_2)^2 = 121$

$\Leftrightarrow 2x_1 + x_2 = 11(x_1, x_2 > 0)$

$\Leftrightarrow 2x_1 + x_2 - x_1 - x_2 = 11 - 2m + 2$
$\Leftrightarrow x_1 = 13 - 2m$

$\Leftrightarrow x_2 = \dfrac{3m - 7}{13 - 2m}$

$\Leftrightarrow x_1 + x_2 = 13 - 2m + \dfrac{3m - 7}{13 - 2m} = 2m - 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{3m - 7}{13 - 2m} = 4m - 15$
$\Leftrightarrow 3m - 7 = (13 - 2m)(4m - 15)$

$\Leftrightarrow 3m - 7 = -8m^2 + 82m - 195$
$\Leftrightarrow -8m^2 + 79m - 188 = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m=4(n)\\m=\dfrac{47}{8}(n)\end{array} \right.\) 

Vậy với $m = 4$ hoặc $m = \dfrac{47}{8}$ thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ dương thoả mãn $5x_1^2 + 2x_2^2 + 6x_1x_2 - 4m(m - 2) = 125$