Cho `(P): y=x^2` và `(d): y=-3x+m^2+1` `a)` Chứng minh `(d)` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt với mọi `m` `b)` Gọi `x,y` lần lượt là hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`. Tìm các giá trị `m` để `x_1 > x_2` và `|x_1|+3|x_2|=17`

`a)` Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` có :

`x^2 =-3x+m^2 +1<=>x^2 +3x-(m^2 +1)=0`

Ta có : `\Delta =b^2 -4ac=3^2 +4(m^2 +1)=4(m^2 +1)+9>=4+9=13>0AAm`

`=>` Phương trình luôn có `2` nghiệm phân biệt

`=>` `(d)` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt với mọi `m`

`b)` `x^2 +3x-(m^2 +1)=0`

Phương trình trên luôn có `2` nghiệm phân biệt `x_1 ; x_2`

Theo Vi-ét : $\begin{cases}x_1 +x_2 =\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3(1)\\x_1 x_2 =\dfrac{c}{a}=\dfrac{-(m^2 +1)}{1}=-(m^2 +1)\end{cases}$

Xét `ac= -(m^2 +1)<=1<0=>` Phương trình có `2` nghiệm trái dấu

Mà `x_1 >x_2 =>x_1 >0;x_2 <0=>|x_1|=x_1 ;|x_2|=-x_2`

Có : `|x_1|+3|x_2|=17<=>x_1 -3x_2 =17` `(2)`

Kết hợp `(1)` với `(2)`, ta có hệ : $\begin{cases}x_1 +x_2 =-3\\x_1 -3x_2 =17\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}4x_2 =-20\\x_1=-3-x_2\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}x_2 =-5\\x_1 =2\end{cases}$

`=> -(m^2 +1)=2.(-5)=-10`

`<=>m^2 +1=10<=>m^2 =9`

`<=>m=+-3`

Vậy `m=+-3`