Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O ), D là điểm chính giữa trên cung nhỏ BC của đường tròn ,OH là chân đường cao kẻ từ A của tam giác .ABC Hai điểm ,KL lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và .AC a) Chứng minh .AL.CB=AB.KL b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho BD=DE . Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .ABC c) Đường thẳng KL cắt đường tròn O tại hai điểm ,MN ( K nằm giữa ,ML ). Chứng minh .AM=AN=AH

Giải thích các bước giải:

 a.Ta có: $\widehat{AKH}=\widehat{ALH}=90^o$

$\to AKHL$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to \widehat{AKL}=\widehat{AHL}=90^o-\widehat{LHC}=\hat C$

Mà $\widehat{KAL}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta ALK\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{AL}{AB}=\dfrac{LK}{BC}$

$\to AL\cdot CB=AB\cdot KL$

b.Vì $D$ nằm chính giữa cung $BC$ nhỏ 

$\to DB=DC$ và $AD$ là phân giác $\hat A$

Mà $DB=DE\to DE=DC$

$\to \Delta DBE$ cân tại $D$

$\to \widehat{DBE}=\widehat{DEB}$

$\to \widehat{DBC}+\widehat{EBC}=\widehat{EAB}+\widehat{EBA}$

Mà $\widehat{EAB}=\widehat{DAB}=\widehat{BCD}=\widehat{DBC}$

$\to \widehat{EBC}=\widehat{EBA}$

$\to BE$ là phân giác $\hat B$

Mà $E\in AD$

$\to E$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

c.Ta có:$\Delta AHB,\Delta AHC$ vuông tại $H, HK\perp AB, HL\perp AC$

$\to AK\cdot AB=AH^2=AL\cdot AC$

Xét $\Delta ALN,\Delta ANC$ có:
Chung $\hat A, \widehat{ALN}=180^o-\widehat{ALB}=180^o-\widehat{ABC}=\widehat{ANC}$

$\to \Delta ALN\sim\Delta ANC(g.g)$

$\to \dfrac{AL}{AN}=\dfrac{AN}{AC}$

$\to AN^2=AL\cdot AC$

Tương tự $AM^2=AK\cdot AB$

$\to AM^2=AH^2=AN^2$

$\to AM=AH=AN$