Chứng minh 8 là số vô tỉ.

Giả sử 8 là số hữu tỉ

Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b khác 0 sao cho $\frac{a}{b}$ = 8

Như vậy 8 có thể được viết dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau

Vì $\frac{a}{b}$ = 8 ⇒ ($\frac{a}{b}$)² = (8)² = 64

⇒ $\frac{a²}{b²}$ = 64 ⇒ a² = 64b² (1)

Suy ra a² là số chính phương chẵn ⇒ a là số chẵn (số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn)

Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k ⇒ a² = (2k)² = 4k² (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 64b² = 4k² ⇒ b² = $\frac{1}{16}$k²

Suy ra b² là số chính phương chẵn nên b là số chẵn

Mà a cũng là số chẵn

⇒ Phân số $\frac{a}{b}$ không phải số tối giản ⇒ mâu thuẫn

⇒ 8 là số vô tỉ.