ho 20 số nguyên dương a1, a2,...,a20 thảo mãn 1< hoặc = 200 và 20 số nguyên dương b1,b2,....,b20 thảo mãn 1<= b1<b1<b2<...<b20<=200. CMR tồn tại 2 số i,j,k,h mà i<j,k <h sao cho aj-ai=bh-bk gợi ý yêu cầu bài toán tương đương với tồn tại i,j,k,h sao cho aj+bk= ai+bh . hãy xét dãy tổng ( có bao nhiêu tổng , nhận những giá trị nào?) lưu ý a1 là số 1 ở dưới a và b cũng thế các số nó cũng thế

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{→ Ta có :}$

$\text{1 ≤ $a_1$ < $a_2$ < . . . < $a_{20}$ ≤ 200.}$

$\text{1 ≤ $b_1$ < $b_2$ < . . . < $b_{20}$ ≤ 200.}$

$\text{⇒ 2 ≤ $a_n$ + $b_m$ ≤ 400. ( 1 ≤ m, n ≤ 20 ; m, n $\in$ N* ; m , n thay đổi ).}$

$\text{→ Có 20² = 400 giá trị mà $a_n$ + $b_m$ nhận được.}$

$\text{→ Mặt khác, số giá trị phân biệt mà $a_n$ + $b_n$ nhận được là :}$

$\text{( 400 - 2 ) + 1 = 399 ( giá trị ).}$

$\text{→ Theo nguyên lí Dirichlet thì có 400 con chim nhưng chỉ có 399 cái}$

$\text{lồng nên ít nhất có hai giá trị $a_n$ + $b_m$ bị trùng nhau hay tồn tại đẳng}$

$\text{thức :}$

$\text{$a_j$ + $b_k$ = $a_i$ + $b_h$ ( Giả sử i < j ; k < h ).}$

$\text{⇔ $a_j$ - $a_i$ = $b_h$ - $b_k$.}$

$\text{→ Vậy luôn tồn tại 2 bộ số i, j ; k, h thoả mãn đề bài.  ( ĐPCM ).}$