cho pt: x² +(2m-1) x +2m -2=0

a) Chứng minh pt luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để pt có 2 nghiệm x1 x2 thỏa:

x1² + x1x2 + x2² =3

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{a)}$

$\text{→ Ta có :}$

$\text{Δ = b² - 4c = ( 2m - 1 )² - 4 . 2( m - 1 )}$

$\text{= 4m² - 4m + 1 - 8m + 8}$

$\text{= 4m² - 12m + 9 = ( 2m - 3 )² ≥ 0}$

$\text{→ Vậy phương trình luôn có nghiệm.}$

$\text{b)}$

$\text{→ Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì :}$

$\text{2m - 3 $\neq$ 0 ⇔ m $\neq$ $\dfrac{3}{2}$.}$

$\text{→ Vi-ét : $\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=2m-2 \end{cases}$}$

$\text{→ Lại có :}$

$\text{$x_1$² + $x_1x_2$ + $x_2$² = 3}$

$\text{⇔ ( $x_1 + x_2$ )² - $x_1x_2$ = 3}$

$\text{⇔ ( 1 - 2m )² - 2m + 2 = 3}$

$\text{⇔ 4m² - 4m + 1 - 2m - 1 = 0}$

$\text{⇔ 4m² - 6m = 0 ⇔ 2m( 2m - 3 ) = 0}$

$\text{⇔ $\left[\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$.}$

$\text{→ Mà m $\neq$ $\dfrac{3}{2}$ ⇒ m = 0.}$

$\text{→ Vậy m = 0 thì thoả mãn yêu cầu đề bài.}$