Tìm tất cả các số nguyên tố `a,b,c` sao cho `a^2+6b^2=c^2`

ĐK: `a,b,c in NN^**` và `a,b,c` là số nguyên tố

Ta xét `c ne 2` (Vì `c=2` không có nghiệm) `=>` `c^2` là số lẻ

`=>` `a^2` phải là số lẻ hay `a ne 2`

Ta có: `a^2+6b^2=c^2`

`=>` `(c-a)(c+a)=6b^2`

`=>` `(c-a),(c+a) in Ư(6b^2)`

TH1: `{(c-a=1),(c+a=6b^2):}` `<=>` `{(a=3b^2-1/2),(c=3b^2+1/2):}` (Loại)

TH2: `{(c-a=2),(c+a=3b^2):}` `<=>` `{(a=3/2*b^2-1),(c=3/2*b^2+1):}`

Thay `b=2` `=>` `{(a=5),(c=7):}` (Thỏa mãn)

TH3: `{(c-a=3),(c+a=2b^2):}` `<=>` `{(a=b^2+3/2),(c=b^2-3/2):}` (Loại)

TH4: `{(c-a=6),(c+a=b^2):}` `<=>` `{(a=b^2/2-3),(c=b^2/2+3):}`

Thay `b=2` `=>` `{(a=-1),(c=5):}` (Loại)

TH5: `{(c-a=b),(c+a=b):}` `<=>` (Loại vì `c-a=c+a`)

TH6: `{(c-a=2b),(c+a=3b):}` `=>` `{(a=b/2),(c=(5b)/2):}`

Thay `b=2` `=>` `{(a=1),(c=5):}` (Loại)

TH7: `{(c-a=3b),(c+a=2b):}` (Loại vì `c-a > c+a`)

TH8: `{(c-a=6b),(c+a=b):}` (Loại vì `c-a > c + a`)

TH9: `{(c-a=b^2),(c+a=6):}` `<=>` `{(a=-b^2/2+3),(c=b^2/2+3):}`

Thay `b=2` `=>` `{(a=2),(c=5):}` (Loại)

TH10: `{(c-a=2b^2),(c+a=3):}` `<=>` `{(a=-b^2+3/2),(c=b^2+3/2):}` (Loại)

TH11: `{(c-a=3b^2),(c+a=2):}` `<=>` `{(a=-(3b^2)/2+1),(c=(3b^2)/2+1):}` (Loại)

TH12: `{(c-a=6b^2),(c+a=1):}` `<=>` `{(a=-3b^2+1/2),(c=3b^2+1/2):}` (Loại)

Vậy `(a;b;c)=(5;2;7)`

$\\$

`\bb\color{#3a34eb}{\text{@hoanganhnguyen09302}}`