Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z=3. Tìm GTLN của S.

Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!

Thành viên Biệt đội Hăng Hái

`S^2 =(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy})^2`

`<=(1^2 +1^2 +1^2)(x+yz+y+zx+z+xy)`

`=3(3+xy+yz+zx)<=3[3+((x+y+z)^2)/3]`

`=3(3+(3^2)/3)=3(3+3)=3.6=18`

`=>S<=\sqrt{18}=3\sqrt{2}`

Dấu "=" xảy ra `<=>x=y=z=1`

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có:

`sqrt(x+yz)+sqrt(y+zx)+sqrt(z+xy) <= sqrt(3*(3+yz+zx+xy))`

Ta có: `(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2 >= 0`

`<=>` `x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+xz`

`<=>` `(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+xz)`

`=>` `xy+yz+xz <= (x+y+z)^2/3=3`

`=>` `S <= sqrt(3*(3+3))=3sqrt2`

Dấu "=" xảy ra `<=>` `x=y=z=1`

Đăng nhập để hỏi chi tiết

S=√√x+yz+√y+zx+√z+xy

Sự kiện