cho a,b,c Q thỏa mãn ab+bc+ac=1. chứng minh $\sqrt[2]{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}$ là số hữa tỉ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`ab+bc+ac=1`

`=>{((ab+bc+ac)^2=1),(2(ab+bc+ac)=2):}`

`=>{(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc(a+b+c)=1),(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2):}`

`=>{(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=1-2abc(a+b+c)),((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2):}`

Ta có: `\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}`

`=\sqrt{(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2+1)}`

`=\sqrt{a^2b^2c^2+a^2c^2+b^2c^2+c^2+a^2b^2+a^2+b^2+1}`

`=\sqrt{a^2b^2c^2+(a^2+b^2+c^2+2)+(a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2)-1}`

`=\sqrt{(abc)^2+(a+b+c)^2+1-2abc(a+b+c)-1}`

`=\sqrt{(abc)^2-2abc(a+b+c)+(a+b+c)^2}`

`=\sqrt{(abc-a-b-c)^2}`

`=|abc-a-b-c|`

Vì `a,b,c\inQQ` nên `|abc-a-b-c|\inQQ(đpcm)`

Vậy `a,b,c\inQQ` thỏa mãn `ab+bc+ac=1` thì `\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}` là số hữu tỉ