cho (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với (O) .Điểm M thay đổi trên d. từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O,R) (A,B là hai tiếp điểm ).Đoạn thẳng OM lần lượt cắt đường thẳng AB và (O;R) tại điểm H,K a, Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp b, AH.KM=AM.KH c, Xác định vị trí của điểm M trên d sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất mong mn giúp e vs ạ . e cơn

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $\widehat{OAB} = \widehat{OMB} = 90^{\circ}$, nên tứ giác $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $AH$ cắt $OM$ tại $P$, ta có $\triangle OPH \sim \triangle OAB$, suy ra $\frac{OP}{OA} = \frac{OH}{OB}$ hay $OP.OB = OH.OA$.

Gọi $KM$ cắt $AB$ tại $Q$, ta có $\triangle OKQ \sim \triangle OMB$, suy ra $\frac{OQ}{OM} = \frac{OK}{OB}$ hay $OQ.OB = OK.OM$.

Nhân hai vế của hai đẳng thức trên ta được: $OP.OB.OQ.OB = OH.OA.OK.OM$.

Do tứ giác $MAOB$ nội tiếp nên $OA.OB = OM.OT$, trong đó $T$ là giao điểm của $AB$ và $OM$.

Kết hợp với $OP.OB.OQ.OB = OH.OA.OK.OM$ ta được: $OP.OQ.OT.OB = OH.OK.OM^2$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: $OP.OQ.OT.OB \leq \frac{(OP.OQ + OT.OB)^2}{4} = \frac{(OH.OK + OA.OM)^2}{4}$.

Vậy $AH.KM = (AM - OH).(OM - OK) = AM.OM - (OH.OK + OA.OM) + OH.OK \geq 2\sqrt{OP.OQ.OT.OB} - OH.OK = 2OM\sqrt{\frac{OP.OQ}{OB.OT}} - OH.OK \geq 2OM.OH$.

Do đó $AH.KM \geq 2OM.OH$, với dấu bằng khi và chỉ khi $P, Q, T$ thẳng hàng hay $M$ đối xứng với $O$ qua $AB$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OI \perp AB$, suy ra $OM^2 - R^2 = MI.MB = (MA - R)(MB - R) = AM.MB - R(MA + MB) + R^2$.

Do đó $AM.MB = OM^2 - R(AM + MB) + 2R^2 \geq 4R^2$, suy ra $AM + MB \geq 4R$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: $R^2 = \frac{(OM^2 - AM^2) + (OM^2 - BM^2)}{2} \geq \sqrt{(OM^2 - AM^2)(OM^2 - BM^2)} = OM.\sqrt{AM.MB - OM^2}$.

1. Tiếp tục phần c) của câu hỏi trước:

   Vậy $OM \geq \frac{R\sqrt{AM.MB}}{\sqrt{2}AM}$.

   Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $MAB$ là:

   $R_{(MAB)} = \frac{AM.BM}{AB} = \frac{AM.BM}{2R} \leq \frac{AM^2}{2R} \leq \frac{AM.R\sqrt{AM.MB}}{\sqrt{2}AM} = \frac{R\sqrt{AM.MB}}{\sqrt{2}}$.

   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $OM$ vuông góc với $AB$, tức là $M$ đối xứng với $O$ qua $AB$.

   Vậy để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $MAB$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chọn $M$ sao cho $AM.MB$ đạt giá trị lớn nhất.