Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Đường thẳng BN cắt đường thẳng AC tại điểm E(16/3;1). Phương trình đường thẳng CM là x-3y+1=0. Tìm tọa độ điểm C, biết C có hoành độ nhỏ hơn 3

Đáp án: $C(2,1)$ 

Giải thích các bước giải:

Vì $C, M\in CM:x-3y+1=0$

$\to C(3a-1, a), M(3b-1,b)$

Ta có: $BM//CN, BM=\dfrac12AB=\dfrac12CD=CN\to MBCN$ là hình bình hành

Mà $BC=\dfrac12AB=BM, BC\perp BM$

$\to BCNM$ là hình vuông

$\to BN\perp CM=F$ là trung điểm $CM$

Phương trình $BN$ là:

$$3(x-\dfrac{16}3)+1(y-1)=0\to 3x+y-17=0$$

Tọa độ $F$ là:

$\begin{cases}3x+y-17=0\\x-3y+1=0\end{cases}$

$\to x=5, y=2\to F(5,2)$

Ta có: $AM//CN, AM=CN\to AMCN$ là hình bình hành

$\to MN\cap AC$ tại trung điểm mỗi đường

$\to CA, NF$ là trung tuyến $\Delta MNC$

$\to E$ là trọng tâm $\Delta MNC$

$\to \vec{FN}=3\vec{FE}$

$\to \begin{cases}x_n-5=3\cdot (\dfrac{16}3-5)\\ y_n-2=3\cdot (1-2)\end{cases}$

$\to x_n=6, y_n=-1$

$\to N(6, -1)$

Mà $FN=FC$ do $BMNC$ là hình vuông

$\to FC^2=FN^2$

$\to (3a-1-5)^2+(a-2)^2=(5-6)^2+(2+1)^2$

$\to 10a^2-40a+40=10$

$\to 10a^2-40a+30=0$

$\to 10(a-3)(a-1)=0$

$\to a\in\{3, 1\}$

Vì hoành độ $C$ nhỏ hơn $3\to 3a-1<3\to a<\dfrac43\to a=1$

$\to C(2,1)$