Cho a, b, c và d là những số thực thỏa mãn : a2+b2+c2+d2<= 12. Tính GTLN của M=4(a3+b3+c3+d3)-(a4+b4+c4+d4)

Đáp án:

 48

Giải thích các bước giải:

 Xét 4a³-a⁴ ta có

=-a²(a²-4a)

=-a²(a²-4a+4)-(-4a²)

=-a²(a-2)²+4a²

-b²(b-2)²+4b²(cmtt)

-c²(c-2)²+4c²(cmtt)

-d²(d-2)²+4d²(cmtt)

=>M=-a²(a-2)² - b²(b-2)² - c²(c-2)² - d²(d-2)² + 4(a²+b²+c²+d²)

M≤-a²(a-2)² - b²(b-2)² - c²(c-2)² - d²(d-2)² +4.12

Lại có (-a²(a-2)² - b²(b-2)² - c²(c-2)² - d²(d-2)²)≤0

=>M≤4.12=48

Trường hợp = xảy ra khi \begin{cases} {a²(a-2)²=0}\\{b²(b-2)²=0}\\{c²(c-a)²=0}\\{d²(d-2)²=0}\\{a²+b²+c²+d²=12} \end{cases}

Có các trường hợp cần thoả mãn

a=0 hoặc a=2

b=0 hoặc b=2

c=0 hoặc c=2

d=0 hoặc d=2

a²+b²+c²+d²≤12

=> a,b,c,d=(0;2;2;2); (2;0;2;2); (2;2;0;2); (2;2;2;0)(*)

Max(M)=48 khi a,b,c,d thoả mãn các trường hợp (*)