Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AFN,\Delta AHC$ có:

$\hat N=\hat H(=90^o)$

$AF=AC$

$\widehat{FAN}=90^o-\widehat{HAC}=\hat C$

$\to\Delta FAN=\Delta ACH$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AN=CH, FN=AH$

Tương tự chứng minh được $\Delta EMA=\Delta AHB$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to EM=AH, AM=BH$

$\to EM+HC=AH+NA=HN$

b.Từ câu a $\to EM=FN$

Gọi $EF\cap MN=D$

Xét $\Delta DFN,\Delta DME$ có:

$\hat N=\hat M(=90^o)$

$FN=EM$

$\widehat{DFN}=\widehat{DEM}$ vì $FN//EM(\perp AH)$

$\to\Delta DFN=\Delta DEM(g.c.g)$

$\to DN=DM, DE=DF$

Xét $\Delta DEN,\Delta DMF$ có:

$DN=DM$

$\widehat{NDE}=\widehat{MDF}$

$DE=DF$

$\to\Delta DEN=\Delta DFM(c.g.c)$

$\to\widehat{DEN}=\widehat{DFM}$

$\to EN//FM$