Tìm số nguyên x,y biết: x $x^{4}$ - 6x ³ +18x ² -y ² -32x + 4y+20=0

Đáp án: Các nghiệm (x;y) lần lượt là: (3;5);(-1;-7);(3;-1);(-1;11);(2;2)

Giải thích các bước giải:

Phương trình tương đương với $x^{4}$ - 6$y^{3}$ + 18$x^{2}$ -32$x^{1}$ +24 =  $y^{2}$ - 4$y^{1}$ +4 

⇔ (x-2)²(x²-2x+6)=(y-2)² (1)

+ Trường hợp 1: (x-2)²=0 ⇔ x=2 ⇒ y=2 (thỏa mãn)

+ Trường hợp 2: (x-2)² $\neq$  0 ⇒ x $\neq$ 2

Để phương trình (1) nguyên thì x² -2x +6 phải là số chính phương ( vì (x-2)² và (y-2)² đều là số chính phương do x;y ∈ Z)

Đặt x²-2x+6  = K²;(K∈N*)

⇔ (x-1)²-k²=-5

⇔(x-1+k)(x-1-k)=-5

Vì x∈Z và K∈N* nên x-1+k và x-1-k nguyên và thuộc ước của 5

Mà -5=-1×5=-5×1

Từ đó lập bảng và tìm được x⇒y