Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 360p được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó tại thời điểm t (0 t 360) vật thể ở vị trí có tọa độ (8+5 sint , 6+ 5cost ). tìm tọa độ của chất điểm M khi M ở gần gốc tọa độ nhất

Đáp án:

$M=(4;3).$

Giải thích các bước giải:

$M(x,y)$ là điểm thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể

$\Rightarrow x=8+5\sin t , y=6+ 5\cos t\\(t \in [0^\circ;360^\circ] \Rightarrow \sin t \in [-1;1], \cos t \in [-1;1])\\ \Rightarrow x-8=5\sin t, y-6=5\cos t\\ \Rightarrow (x-8)^2+(y-6)^2=25\sin^2t+25\cos^2t\\ \Rightarrow (x-8)^2+(y-6)^2=25(\sin^2t+\cos^2t)\\ \Rightarrow (x-8)^2+(y-6)^2=25 (1)$

$\Rightarrow$ Quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn $(C)$ tâm $I(8;6)$ bán kính $5$

$OI cắt$ $(C)$ tại điểm gần $O$ hơn là $A$

$B$ là một điểm thuộc $(C)$ không trùng $A$

Ta luôn có $OI<OB+BI$

$\Leftrightarrow OA+AI<OB+BI\\ \Leftarrow OA+R<OB+R\\ \Leftarrow OA<OB$

$\Rightarrow M$ gần gốc toạ độ nhất là trùng với $A$

$\overrightarrow{OI}=(8;6)=2(4;3)\\ \Rightarrow \vec{n}_{OI}=(3;-4)$

Phương trình đường thẳng $OI:$

$3x-4y=0\\ \Rightarrow x=\dfrac{4}{3}y (2)\\ (1)(2) \Rightarrow (x;y)=(4;3); (x;y)=(12;9)\\ \Rightarrow M=(4;3).$