Cho hình chữ nhật ABCD đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lấy P là một điềm tuỳ ý trên OB. Gọi M là điểm đối xứng với C qua P. Từ M kẻ ME vuông góc với đường thẳng AD ( E thuộc AD ), kẻ MF vuông góc với đường thẳng AB (F thuộc AB ). a,Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật. b,Chứng minh rằng AMBD là hình thang. c,Chứng minh E,F, P thẳng hàng . d,Xác định vị trí của P để AMBD là hình thang cân.

Giải thích các bước giải:

a,

Tứ giác AEMF có 3 góc vuông là A,E,F nên AEMF là hình chữ nhật

b,

P là trung điểm MC, O là giao điểm 2 đường chéo của HCN ABCD nên O là trung điểm AC

Suy ra OP là đường trung bình trong tam giác AMC

Do đó OP//AM hay AM//BD

Suy ra AMBD là hình thang

c,

Ta có:

\[AM//BD \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {ABD}\]

ABCD và AEMF là hình chữ nhật nên ta có:

\[\begin{array}{l}
\widehat {BAC} = \widehat {ABD}\\
\widehat {MAF} = \widehat {EFA}\\
 \Rightarrow \widehat {EFA} = \widehat {BAC}
\end{array}\]

Hai góc trên ở vị trí so le trong nên EF//AC

Gọi I là giao điểm của EF và AM thì I là trung điểm của EF

Suy ra IP là đường trung bình trong tam giác MAC nên IP//AC

Suy ra EF//IP hay E,I,F,P thẳng hàng

d,

AMBD là hình thang cân khi và chỉ khi AB=DM

Mà AB=DC nên DM=DC

P là trung điểm MC nên DP vuông góc với MC

Vậy CP vuông góc với BD thì AMBD là hình thang cân