Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O. Từ A kẻ cát tuyến ABC không đi qua O với (O) (B nằm giữa A và C). Đường kính DE vuông góc với BC tại K, AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. a. CMR tứ giác DFIK nội tiếp b. Lấy H đối xứng I qua K. CMR góc DHA = góc DEA C. CM: AI.KE.KD=KI.AB.AC

Giải thích các bước giải:

a.Ta có DE là đường kính của (O)
$\to EF\perp DF$ 

Mà $DE\perp BC=K\to \widehat{EKI}=\widehat{EFD}=90^o$

$\to DFIK$ nội tiếp

b.Ta có $AK\perp DE, EF\perp DF$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{AKE}=90^o$

$\to AFKE$ nội tiếp

Mà $IK=HK, DE\perp BC=K\to DE$ là trung trực của HI

$\to \widehat{DHA}=\widehat{DHK}=\widehat{DIK}=\widehat{DFK}=\widehat{DEA}$

c.Ta có $\widehat{IEK}=\widehat{DAK}$ do AFKE nội tiếp

             $\widehat{AKD}=\widehat{EKI}=90^o$

$\to\Delta AKD\sim\Delta EKI(g.g)$

$\to \dfrac{AK}{EK}=\dfrac{KD}{KI}$

$\to KE.KD=KI.AK$

Lại có $\widehat{AFI}=\widehat{AKD}=90^o\to\Delta AFI\sim\Delta AKD(g.g)$
$\to\dfrac{AF}{AK}=\dfrac{AI}{AD}\to AF.AD=AI.AK$

Mà $BCDF$ nội tiếp 

$\to\widehat{AFB}=\widehat{ACD}\to\Delta ABF\sim\Delta ADC(g.g)$

$\to\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AB}{AD}\to AF.AD=AB.AC$

$\to AB.AC=AI.AK$

$\to KI.AB.AC=AI.AK.KI=AI.KE.KD$