Bài 3 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC có BC = 2AB và đường phân giác BD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC a) Chứng minh tam giác BAD = tam giác BMD. b) Hai tia BA và MD cắt nhau tại nhau tại điểm E. Tia BD cắt đoạn thẳng EC tại điểm N.Chứng minh tam giác BEC là tam giác cân và tính tỉ số BD/BN

Giải thích các bước giải:

a) `M` là trung điểm của `BC => MB=MC=1/2 BC`

`=> BC=2BM`

mà `BC=2AB => BM=AB`

Xét `ΔBAD` và `ΔBMD` có:

`BA=BM `

`\hat{ABD}=\hat{MBD} (BD` là phân giác của `\hat{ABC})`

`BD`: chung

`=> ΔBAD=ΔBMD` (c.g.c)

b) `ΔBAD=ΔBMD => AD=DM; \hat{BAD}=\hat{BMD}`

mà `\hat{BAD}+\hat{EAD}=180^0` (kề bù)

      `\hat{BMD}+\hat{CMD}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{EAD}=\hat{CMD}`

Xét `ΔADE` và `ΔMDC` có:

`\hat{EAD}=\hat{CMD}`

`AD=DM`

`\hat{ADE}=\hat{MDC}` (đối đỉnh)

`=> ΔADE=ΔMDC` (g.c.g) `=> AE=MC`

mà `AB=MB=MC => AE=AB=MB=MC`

`=> AE+AB=MB+MC => BE=BC`

`=> ΔBEC` cân tại `B`

`AE=AB => A` là trung điểm của `BE`

Xét `ΔBEC` có: `CA; EM` là hai đường trung tuyến cắt nhau tại `D`

`=> D` là trọng tâm `ΔBEC`

`=> BN` là đường trung tuyến

`=> \frac{BD}{BN}=2/3`