Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(2;-1) đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình d :3x 4y = 0, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình d':x+2y - 5 = 0. Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.

Đáp án:

 `-x+3y-10=0`

Giải thích các bước giải:

Đường thẳng `d: 3x-4y=0`

⇒ VTCPlà $\overrightarrow{u}(3;-4)$

⇒ VTPT là $\overrightarrow{n}(4;3)$

Phương trình đường thẳng BC là

`4(x-2)+3(y+1)=0`

`⇔4x+3y -5=0`

Toạ độ điểm `C` là nghiệm của PT:

$\begin{cases} 4x+3y=5\\x+2y= 5\end{cases}$

$⇒\begin{cases} a=-1\\b=3\end{cases}$

`⇒C(-1;3)`

Trung điểm của `AB: M( x_M ; y_M )`

Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C đi qua trung điểm của AB

Thay toạ độ trung điểm AB vào `d` và `d'` ta được: 

$\begin{cases} 3x_M-4y_M=0\\x_M+2y_M=5 \end{cases}$

$⇒\begin{cases} x_M=2\\y_M=\dfrac{3}{2} \end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases} \dfrac{x_A+x_B}{2} =2\\\dfrac{y_A+y_B}{2} =\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$⇒\begin{cases} x_A=2\\y_A=4 \end{cases}$

`⇒A(2;4)`

$⇒\overrightarrow{AC}=(-3;-1)$

⇒ VTPT $\overrightarrow{n_{AC}}=(-1;3)$

Phương trình tổng quát AC

`-1.(x-2)+3(y-4)=0`

`⇔-x+3y-10=0`