Cho tam giác MNP vuông tại M có MN<MP, kẻ đường phân giác Ni của góc MNP (I thuộc MP). Kẻ IK vuông góc với NP tại K

a) Chứng minh Tam giác IMN = Tam giác IKM

b) Chứng minh MI < IP

c) Gọi Q là giao điển của đường thẳng IK và đường thẳng MN, đường thẳng NI cắt QP tại D. Chứng minh ND vuông góc QP và tam giác QIP cân tại I

a)Xét 2 $\triangle$ vuông IMN và $\triangle$ vuông IKM có:

$\widehat{N_{1} }$=$\widehat{N_{2} }$(gt)

NI chung

⇒$\triangle$ IMN = $\triangle$ IKM (CH-GN)

b)Vì $\triangle$ IMN = $\triangle$ IKM(theo a)

⇒MI=KI(2 cặp cạnh tương ứng)

Xét $\triangle$ KIB $\bot$ tại K

⇒IP là cạnh huyền

⇒IP>KI

Mà MI=KI (CMT)

⇒MI<IP

c)Xét 2 $\triangle$ vuông  MIQ và $\triangle$ vuông KIP có:

MI=KI (CMT,theo b)

$\widehat{MIQ}$=$\widehat{KIP}$(đđ)

⇒$\triangle$ MIQ = $\triangle$ KIP (CH-GN)

⇒MQ=KP(2 cặp cạnh tương ứng)

Vì $\triangle$ IMN = $\triangle$ IKM(theo a)

⇒NM=NK(2 cặp cạnh tương ứng)

Ta có NM+MQ=NQ

         NK+KP=NP

Mà NM=NK và MQ=KP ⇒ NQ=NP

Xét 2 $\triangle$ NQD và $\triangle$ NPD có:

$\widehat{N_{1} }$=$\widehat{N_{2} }$(gt)

NQ=NP (CMT)

ND chung

⇒$\triangle$ NQD = $\triangle$ NPD (C.G.C)

⇒$\widehat{NDQ}$=$\widehat{NDP}$(2 cặp góc tứng)

Mà 2 góc này ở vị trí kề bù

⇒$\widehat{NDQ}$=$\widehat{NDP}$=$90^0$

⇒ND$\bot$QP

Vì $\triangle$ MIQ = $\triangle$ KIP(CMT)

⇒QI=PI(2 cặp cạnh tứng)

⇒ $\triangle$ QIP cân tại I