Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. Chứng minh: a) tam giác AEF đồng giạng tam giác ABC b) H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF c) BH.BE+CH.CF=BC2

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$

$\to\Delta AEB\sim\Delta AFC(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\to\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

b.Từ câu a $\to \widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

Tương tự $\to\widehat{BFD}=\widehat{ACB}$

$\to\widehat{AFE}=\widehat{BFD}$

$\to 90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{BFD}$

$\to\widehat{DFH}=\widehat{HFE}$

$\to FH$ là phân giác $\widehat{DFE}$

Tương tự $DH, EH$ là phân giác $\Delta DEF$

$\to H$ là giao các đường phân giác của $\Delta DEF$

c.Ta có $\widehat{BDH}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to\Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\to BH.BE=BD.BC$

Tương tự $CH.CF=CD.CB$

$\to BH.BE+CH.CF=BD.BC+CD.BC=BC(BD+DC)=BC^2$