Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng: p4 – q4 chia hết cho 240 ko chép mạng ko spam ạ

Vì $p$ nguyên tố, $p>5$

Nên $p$ chia 2 dư 1

Khi đó : $p^4-q^4$

$=(p^2+q^2).(p^2-q^2)$

$=(p^2+q^2).(p-q).(p+q) $

Dễ thấy, $p-q,p+q,p^2+q^2$ chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 4.

Nên $p^4-q^4 \vdots 16(1)$

Ta đi chứng minh $p^4-q^4 \vdots 15$

Thật vậy vì $p^4-q^4 $

$=(p^4-1)-(q^4-1) $

$=(p-1)(p+1)(p^2+1)-(q-1)(q+1)(q^2+1)$

Vì : $p$ nguyên tố lớn hơn 5 nên $p \not \vdots 3$

Mà : $(p-1)p(p+1) \vdots 3$

$⇒(p-1)(p+1) \vdots 3$

Lại có : $(p-1)(p+1).(p^2+1)$

$=(p-1)(p+1).(p^2-4+5)$

$=(p-2)(p-1)(p+1)(p+2)+5.(p-1)(p+1) \vdots 5$

Nên : $p^4-1 \vdots 15$

Tương tự $q^4-1 \vdots 15$

Nên : $p^4-q^4 \vdots 15(2)$

Từ (1) và (2) $⇒p^4-q^4 \vdots 240$

$⇒đpcm$