Câu II (3 điểm). 1) Cho tarn giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, bán kính đường tròn nội tiếp là 7, nửa chu vi là p. Chứng minh rằng: tan$\frac{A}{2}$ + tan$\frac{B}{2}$ + tan$\frac{C}{2}$ = $\frac{4R+r}{p}$  2) Với A, B, C là 3 góc của tam giác không tù, chứng minh rằng: $(1+sin ^2A)+ (1+sin^2B)+( 1+sin^2C)>4$

Giải thích các bước giải:

1.Ta có:

$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}-\dfrac{1}{p}$

$=\dfrac{2p-a-b}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{c}{p(p-c)}$

$=\dfrac{c}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{c}{p(p-c)}$

$=c\cdot(\dfrac{1}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{1}{p(p-c)})$

$=c\cdot\dfrac{p(p-c)+(p-a)(p-b)}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$=c\cdot\dfrac{\dfrac{a+b+c}2\cdot\dfrac{a+b-c}2+\dfrac{-a+b+c}2\cdot \dfrac{a-b+c}2}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$=c\cdot\dfrac{ab}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$=\dfrac{abc}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$=\dfrac{abc}{S^2}$

$=\dfrac{abc}{S\cdot S}$

$=\dfrac{abc}{\dfrac{abc}{4R}\cdot S}$

$=\dfrac{4R}{S}$

$=\dfrac{4R}{pr}$

$\to \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{4R}{pr}+\dfrac1{p}$

$\to \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{4R}{pr}+\dfrac{r}{pr}$

$\to \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{4R+r}{pr}$

$\to r(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c})=\dfrac{4R+r}{p}$

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC, ID\perp BC, IE\perp AC, IF\perp AB$

$\to AE=AF=\dfrac{b+c-a}2=p-a$

$\to \tan\dfrac{A}2=\dfrac{IF}{AF}=\dfrac{r}{p-a}$

Tương tự $\tan\dfrac{B}2=\dfrac{r}{p-b}, \tan\dfrac{C}2=\dfrac{r}{p-c}$

$\to \tan\dfrac{A}2+\tan\dfrac{B}2+\tan\dfrac{C}2=\dfrac{r}{p-a}+\dfrac{r}{p-b}+\dfrac{r}{p-c}=r(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c})=\dfrac{4R+r}p$
$\to đpcm$