Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy thứ tự 2 điểm D và E sao cho BD= CE . Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng tam giác A DE là tam giác cân b Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAN c) Kẻ BH vuông góc với AD và CK vuông góc với AE . Chứng minh BH= K d) Chứng minh 3 đường thẳng AM, BH và CK đồng quy

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` cân tại `A ⇒ A B = A C ;  \hat{ABC} = \hat{A C B}`

mà `\hat{A B C} + \hat{A B D} = 180^0` (kề bù)

      `\hat{A C B} + \hat{A C E}=180^0` (kề bù)

`⇒ \hat{A B D} = \hat{A C E}`

Xét `Δ A B D` và `Δ A C E` có:

`A B = A C` (cmt)

`\hat{A B D} = \hat{A C E}` (cmt)

`B D = C E` (gt)

`⇒ Δ A B D = Δ A C E` (c.g.c)

`⇒ A D = A E` (2 cạnh tương ứng)

`⇒ Δ A D E` cân tại `A`

b) `BD=CE; BM=CM (M` là trung điểm của `BC)`

`=> BD+BM=CE+CN => MD=ME`

Xét `ΔADM` và `ΔAEM` có:

`AD=AE `

`AM`: chung

`MD=ME`

`=> ΔΔADM=ΔAEM` (c.c.c)

`=> \hat{DAM}=\hat{EAM}`

`=> AM` là tia phân giác của `\hat{DAE}`

c) `Δ A D E` cân tại `A ⇒ \hat{D} = \hat{E}`

Xét `Δ B H D` và `Δ C K E` có:

`\hat{B H D} = \hat{C K E} = 90^0 ( B H ⊥ A D ; C K ⊥ A E )`

`B D = C E` (gt)

`\hat{D} = \hat{E}` (cmt)

`⇒ Δ B H D = Δ C K E` (cạnh huyền -góc nhọn)

`⇒ B H = C K`

d) Gọi `O` là giao điểm của `BH` và `CK`

`Δ B H D = Δ C K E` (cmt) `⇒ \hat{H B D} = \hat{K C E}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{H B D} = \hat{C B O}` (đối đỉnh)

       `\hat{K C E} = \hat{B C O}` (đối đỉnh)

`⇒ \hat{C B O} = \hat{B C O}  ⇒ Δ B O C` cân tại `O`

Xét `Δ B A M` và `Δ C A M` có:

`A B = A C` (cmt)

`A M` : cạnh chung

`M B = M C ( M` là trung điểm của `B C` )

`⇒ Δ B A M = Δ C A M` (c.c.c)

`⇒ \hat{A M B} = \hat{A M C}`

mà `\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^0` (kề bù)

`⇒ \hat{A M B} = \hat{A M C} = 90^0`

`⇒ A M ⊥ B C` (1)

Xét `Δ B O M` và `Δ C O M` có:

`O B = O C ( Δ O B C` cân tại `O` )

`O M` : cạnh chung

`M B = M C ( M` là trung điểm của `B C` )

`⇒ Δ B O M = Δ C O M` (c.c.c)

`⇒ \hat{O M B} = \hat{O M C}`

mà `\hat{O M B} + \hat{O M C} = 180^0` (kề bù)

`⇒ \hat{O M B} = \hat{O M C} = 90^0`

`⇒ O M ⊥ B C` (2)

Từ (1) và (2) `⇒ O , M , A` thẳng hàng mà `O` là giao điểm của `B H` và `C K`

`=> A M , B H , C K` đồng quy tại `O .`