Cho parabol (P): y = x ² và đường thẳng (d): y = x+m. Tìm m sao cho (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B và khoảng cách giữa hai điểm này là 3 3

Để tìm giá trị của m, ta bắt đầu bằng việc tìm tọa độ của hai điểm A, B nằm trên đường thẳng (d) và trên đồ thị của parabol (P).

Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là tọa độ của hai điểm cắt của (P) và (d). Ta có:

y1 = x1^2 và y2 = x2^2 (vì A và B nằm trên đồ thị của parabol)

y1 = x1 + m và y2 = x2 + m (vì A và B nằm trên đường thẳng)

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:

AB = [(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

= [(x2 - x1)^2 + (x2^2 - x1^2)^2]

= [(x2 - x1)^2 + (x2 + x1)(x2 - x1)^2]

= [(x2 - x1)^2 + (x2 + x1)(x2 - x1)^2]

= [(x2 - x1)^2 + (x2 + x1)(x2 - x1)^2]

= |x2 - x1|[1 + (x2 + x1)]

= |x2 - x1|[(x2 + x1)^2 + 1 - 2(x2 + x1)]

= |x2 - x1|[(x2 + x1 - 1)^2 - 1]

Do khoảng cách giữa hai điểm A và B là 3, ta có:

AB = |x2 - x1|[(x2 + x1 - 1)^2 - 1] = 3

Vì AB = 3, ta có thể giải phương trình này để tìm giá trị của x1 và x2. Khi đó, ta có thể tìm giá trị của y1 và y2 dựa trên phương trình của parabol và đường thẳng.

Giải phương trình AB = |x2 - x1|[(x2 + x1 - 1)^2 - 1] = 3, ta có:

|x2 - x1|[(x2 + x1 - 1)^2 - 1] = 3

Đặt t = x2 + x1, ta có:

|2x2 - t|[(t - 1)^2 - 4] = 3

Khi đó, ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: 2x2 - t > 0

|2x2 - t| = 2x2 - t

2x2 - t[(t - 1)^2 - 4] = 3

Tìm giá trị của x2 từ phương trình trên, rồi tính x1 và m từ hệ phương trình:

x1^2 = y1 = x1 + m

x2^2 = y2 = x2 + m

- Trường hợp 2: 2x2 - t < 0

|2x2 - t| = t - 2x2

t[(t - 1)^2 - 4] - 2x2(t - 1) = 3

Tìm giá trị của x2 từ phương trình trên, rồi tính x1 và m từ hệ phương trình:

x1^2 = y1 = x1 + m

x2^2 = y2 = x2 + m

Tóm lại, để tìm giá trị của m, ta cần giải hệ phương trình sau:

x1^2 - x1 - m = 0

x2^2 - x2 - m = 0

|x2 - x1|[(x2 + x1 - 1)^2 - 1] = 3

với x1, x2 là nghiệm của hệ phương trình trên và m là ẩn số cần tìm.