Cho elip `(E)` có độ dài trục lớn bằng 15 và đi qua điểm M sao cho `hat(F_1MF_2) = 90^o` . Biết diện tích tam giác `MF_1F_2 = 26` Viết phương trình chính tắc của elip `(E)`

Gọi phương trình chính tắc của Elip $\rm (E)$ có dạng: `(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1` `(a>b>0)`

Vì Elip $\rm (E)$ có độ dài trục lớn bằng `15` nên `2a=15=>a=15/2`

Ta có: Diện tích $\rm S_{MF_1F_2}=26$ và $\rm \Delta MF_1F_2$ vuông tại $\rm M$ $\rm (\widehat{MF_1F_2}=90°)$

$\rm \Rightarrow \dfrac{1}{2}MF_1.MF_2=26 \Rightarrow MF_1.MF_2=52$ `(1)`

Mặt khác: điểm $\rm M$ thuộc Elip $\rm (E)$ nên $\rm MF_1+MF_2=2a=15$

$\rm \Rightarrow MF_2=15-MF_1$ thay vào `(1)` ta được:

$\rm MF_1.(15-MF_1)=52 \Leftrightarrow (MF_1)^2-15MF_1+52=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} MF_1=\dfrac{15+\sqrt{17}}{2}\\ MF_1=\dfrac{15-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.$

Với $\left[\begin{matrix} MF_1=\dfrac{15+\sqrt{17}}{2}\\ MF_1=\dfrac{15-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} MF_2=\dfrac{15-\sqrt{17}}{2}\\ MF_2=\dfrac{15+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\rm \Delta MF_1F_2$ ta có: $\rm F_1F_2=\sqrt{(MF_1)^2+(MF_2)^2}$

`=> \text{F}_1\text{F}_2=\sqrt{((15+\sqrt{17})/2)^2+((15-\sqrt{17})/2)^2}= 11`

Do đó: `2c=11 => c=11/2; a=15/2=>a^2=225/4;`

`b^2=a^2-c^2=(15/2)^2-(11/2)^2=26`

Vậy phương trình chính tắc của Elip $\rm (E)$ có dạng `(x^2)/(225/4)+(y^2)/26=1`