Cho $x,y>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P = x^2 + y^2 + \dfrac{16}{\sqrt{(x+1)(y+1)}}$.

Lời giải tham khảo :

Ta có : 

`x^2 + y^2 + 16/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)]` 

`= (x^2 + 1) + (y^2 + 1) + 16/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)] - 2` 

`>= [(x+1)^2]/2 + [(y+1)^2]/2 + 16/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)] - 2` `(1)`

Áp dụng BĐT Cosi dạng `[a+b]/2 >= \sqrt(ab)` ta có :

`(1) >= (x+1)(y+1)+ 16/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)] - 2`

`= (x+1)(y+1)+ 8/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)] + 8/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)]- 2`

`= 3*((x+1)(y+1)+ 8/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)] + 8/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)])/3- 2` `(2)`

Áp dụng BĐT Cosi dạng `[x+y+z]/3 >= \root(3)(xyz)` ta có :

`(2) >= 3 \root(3)((x+1)(y+1) * 8/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)] * 8/[\sqrt(x+1)\sqrt(y+1)]) -2`

`= 3 * \root(3)(8*8) -2 = 10`

______________________________________________

* Giải thích từ dòng `2->3 :`

Ta có : `(a-b)^2 >= 0`

`=> a^2 + b^2 >= 2ab`

`=>  2a^2 + 2b^2 >= a^2 + b^2 + 2ab`

`=> a^2 + b^2 >= [(a+b)^2]/2`