Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H. a) So sánh HB và HC. b) Biết AB = AC = 15cm, AH = 9cm. Tính độ dài cạnh BC? c) Gọi I là trung điểm của AB, AH cắt CI tại G. Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại M. Chứng minh ba điểm M, G, B thẳng hàng.

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao của tam giác. Do đó, ta có HB và HC là hai đoạn thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì đường cao AH vuông góc với BC nên HB và HC là hai đoạn thẳng đối xứng qua đường trung trực của BC. Do đó, HB = HC.

b) Ta có:

• Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 * AB * AH = 1/2 * 15cm * 9cm = 67.5cm^2.
• Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, BH = HC = x (với x là độ dài của một nửa cạnh BC).
• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHB, ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2 = 15^2.
• Từ đó suy ra x = 6cm và độ dài cạnh BC là 2x = 12cm.

Vậy, độ dài cạnh BC là 12cm.

c) Ta có:

• Vì I là trung điểm của AB nên CI cắt AB tại I.
• Từ tỷ lệ AH/AB = 3/5, ta suy ra AI = 6cm và IB = 9cm.
• Từ tỷ lệ AH/AB = 3/5 và AM song song với AB, ta suy ra AM/AC = 3/5. Từ đó suy ra AM = 9cm.
• Áp dụng định lý Euclid trong tam giác AHC, ta có: HC^2 = AC^2 - AH^2 = 144cm^2 - 81cm^2 = 63cm^2. Từ đó suy ra HC = 3√7 cm.
• Từ tỷ lệ AH/AB = 3/5 và IG song song với AB, ta suy ra IG/GC = 3/5. Từ đó suy ra GC = 2/3 * HC = 2√7 cm.
• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AIG, ta có: AG^2 = AI^2 + IG^2 = 36cm^2 + (2/3 * HC)^2 = 36cm^2 + 28cm^2 = 64cm^2. Từ đó suy ra AG = 8cm.
• Vì M là trung điểm của AC nên GM song song với HI và GM = 1/2 * HC = 3/2√7 cm.
• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMG, ta có: AG^2 = AM^2 + GM^2 = 81cm^2 + (3/2√7)^2 cm^2 = 81cm^2 + 63/4 cm^2 = 129/4 cm^2.
• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BHI, ta có: BH^2 = HI^2 + IB^2 = HC^2