.Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (o;r). Gọi I là trung điểm của bán kính OD.Tia AL cắt (o) tại P (P khác A).Tiếp tuyến tại P của đường tròn (o) cắt tia AB tại T. a) chứng minh tứ giác PIOB nội tiếp và BTP + 2.TPB=90 độ b)kẻ PK vuông góc AB (K khác AB). Gọi Q là giao điểm của TP và CD.Chứng minh tam giác PQI cân và 2/KT=1/KB-1/KA

Để chứng minh tứ giác PIOB nội tiếp, cần chứng minh góc POB bằng góc PIF.

Ta có:

- Bởi cùng nằm trên đường kính CD, ta có: $\angle OCB = 90^\circ$ và $\angle COI = \angle DOI = 90^\circ$.

- Bởi AB là đường kính vuông góc với CD, ta có $\angle ABD = 90^\circ$.

- Ta được, $\angle DPO = \angle APO$ bởi đây là đường chéo của tứ giác PADO.

- Do đó: $\angle DPT = \angle APO = \angle DPO$

- Loại bỏ góc chung, ta có: $\angle POB = \angle DPT$

Ngoài ra, ta cũng có:

- $\angle PIF = 90^\circ$ (vì IF là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại P).

- Ta được: $\angle PFI = 180^\circ - \angle CPO = 180^\circ - \angle COB$ (do PO là đường chéo của tứ giác PBCO).

- Từ $\angle CPO = \angle COB$, ta có: $\angle PFI = \angle PIB$.

Nối OB và P, ta có $\angle POB = \angle PIB$.

Do đó: $\angle POB = \angle DPT$, hay tứ giác PIOB nội tiếp.