Trong mặt phẳng `Oxy` , cho đường thẳng `d` : `(m-2)x+(m-1)y+2m-1=0` Với giá trị nào của `m` thì khoảng cách từ `A(2;3)` đến `d` là lớn nhất

Ta có: `d(A,d)`

`=abs(2(m-2)+3(m-1)+2m-1)/sqrt((m-2)^2+(m-1)^2)`

`=abs(7m-8)/sqrt(2m^2-6m+5)`

Đặt `A=abs(7m-8)/sqrt(2m^2-6m+5)`

`=>` `A^2=(49m^2-112m+64)/(2(m^2-3m+5/2))`

`=(49(m^2-3m+5/2)+35m-117/2)/(2(m^2-3m+5/2))`

`=49/2+(35m-117/2)/(2m^2-6m+5)`

Đặt `k=(35m-117/2)/(2m^2-6m+5)`

`<=>` `4km^2-12km+10k=70m-117`

`<=>` `4km^2-m(12k+70)+10k+117=0`

`\Delta=(12k+70)^2-4*4k*(10k+117)=-16k^2-192k+4900`

Biểu thức đạt GTLN, GTNN `<=>` `\Delta >= 0`

`<=>` `-16k^2-192k+4900 >= 0`

`<=>` `-49/2 <= k <= 25/2`

`=>` `(A^2)_(\text(max))=49/2+25/2=37`

Mà `A >= 0` `=>` `A_(\text(max))=sqrt37`

Dấu `=` xảy ra `<=>` `(35m-117/2)/(2m^2-6m+5)=25/2`

`<=>` `m=11/5`

Vậy `m=11/5` thì khoảng cách từ `A(2;3)` đến `d` là lớn nhất

$\\$

`\bb\color{#3a34eb}{\text{@hoanganhnguyen09302}}`