Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Chứng minh rằng: ABC HBA. Từ đó suy ra AB2 = BH.BC. b) Chứng minh rằng: HAB HCA và AH2 = BH.HC. c) Trên tia HA lấy các điểm D, E sao cho D là trung điểm của AH, A là trung điểm của HE. Chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác BCE.

Đáp án:

Để giải bài tập này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và đường cao của tam giác vuông. 

a) Để chứng minh rằng ABC  HBA, ta cần chứng minh rằng góc ABC = góc HBA và góc BAC = góc ABH. Ta có:
- Góc ABC = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)
- Góc HBA = 90 độ (vì tam giác HBA vuông tại A)
- Góc BAC = góc ABH (vì AB = AH)
Vậy ta có thể kết luận rằng ABC  HBA.

Để suy ra AB2 = BH.BC, ta sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC và đường cao AH:
- AB^2 + BC^2 = AC^2
- AH là đường cao của tam giác ABC nên AB.AH = 2S(ABC) (với S(ABC) là diện tích tam giác ABC)
- BH là đường cao của tam giác HBA nên BH.AH = 2S(HBA) (với S(HBA) là diện tích tam giác HBA)
Từ đó suy ra:
- AB^2 + BC^2 = AC^2
- AB.AH = 2S(ABC)
- BH.AH = 2S(HBA)
Tương đương với:
- AB^2 + BC^2 = AC^2
- AB.AH = BC.AH
- BH.AH = AB.HB
Từ hai phương trình cuối cùng suy ra:
- AB^2 = BH.BC

b) Để chứng minh rằng HAB  HCA và AH^2 = BH.HC, ta sử dụng các kiến thức về đường cao của tam giác vuông và tỉ số đồng dạng của các tam giác tương tự. Ta có:
- Góc HAB = góc HCA (vì HA song song với CE)
- Góc AHB = góc AHC (vì hai góc này bù nhau)
Vậy ta có thể kết luận rằng HAB  HCA.
Ta có thể tính được AH^2 bằng cách sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác AHB và đường cao AH:
- AH^2 + HB^2 = AB^2
Tương đương với:
- AH^2 + HB.HC = AB.BC (vì BH.BC = AB^2 từ phần a))
Thay HB.HC bằng AB.AH/BC từ phương trình cuối cùng của phần a)), ta được:
- AH^2 + AB.AH/BC = AB.BC/BC
Tương đương với:
- AH^2 + AB.AH/BC = AB
Tương đương với:
- AH^2 = AB - AB.AH/BC
Tương đương với:
- AH^2 = AB(1 - AH/BC)
Từ phần a)), ta biết được rằng AB^2/BH.BC=1. Từ đó suy ra:
- BC/BH=AB/sqrt(AB^2+BH