Cho m,n,t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn: m - n = n - t = a (a thuộc N*). CMR a chia hết cho 6.

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{→ Ta giả sử :}$

$\text{$\begin{cases} m=2k+1\\n=2p+1\\t=2a+1 \end{cases}$ ( a , k , q $\in$ N* ).}$

$\text{⇒ m - n = a ⇔ 2k + 1 - ( 2p + 1 ) = a}$

$\text{⇔ 2k - 2p + 2 = a ⇔ 2( k - p + 1 ) = a}$

$\text{⇒ a $\vdots$ 2.       ( 1 ).}$

$\text{→ Lại có :}$

$\text{m , n , t > 3.}$

$\text{⇒ m , n , t $\not\vdots$ 3.}$

$\text{→ Vậy khi ba số nguyên tố trên chia 3 sẽ dư 1 hoặc 2.}$

$\text{→ Theo nguyên lí Dirichlet thì ít nhất hai trong ba số sẽ}$

$\text{có số dư giống nhau.}$

$\text{→ Ta sẽ giả sử m và n khi chia 3 có số dư như nhau.}$

$\text{⇒ $\begin{cases} m = 3h + k\\n = 3u + k \end{cases}$ ( h , u , k $\in$ N* ).}$

$\text{⇒ m - n = 3h - 3u = 3( h - u ).}$

$\text{⇒ m - n $\vdots$ 3 hay a $\vdots$ 3.  ( 2 ).}$

$\text{→ Từ ( 1 ) và ( 2 ) và ( 2 , 3 ) = 1 ta suy ra a $\vdots$ 6.  ( ĐPCM ).}$