Cho tam giác ABC vuông tại C có AC<BC.tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E.kẻ EK vuông góc với AB( K thuộc AB).kẻ BD vuông góc với tia AE(D thuộc tia AE). Cm: a, AC=AK b,AE vuông góc viws CK c,3 đường thẳng AC,BD,KE cùng đi qua một điểm

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a)Ta có: EK⊥AB

⇒∠AKE=∠BKE=$90^o$

⇒ΔAKE vuông tại K

Xét tam giác vuông ACE và tam giác vuông AKE, ta có:

· AE cạnh chung

· ∠CAE=∠KAE (AE là tia phân giác ∠A)

⇒ΔACE=ΔAKE (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AC=AK (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: CE=KE

⇒ΔECK cân tại E

⇒∠KCE=∠CKE

Mà ∠KCE+∠ACK=$180^o$ (kề bù)

      ∠CKE+∠AKC=$180^o$ (kề bù)

⇒∠ACK=∠AKC

Ta có: ΔACE=ΔAKE (cmt)

⇒AC=AK (hai cạnh tương ứng)

Gọi G là giao điểm của AD và CK

Xét ΔAGC và ΔAGK, ta có:

· AC=AK (cmt)

· ∠CAG=∠KAG (AG là tia phân giác ∠A)

· ∠ACK=∠AKC (cmt)

⇒ΔAGC=ΔAGK (g.c.g)

⇒∠AGC=∠AGK (hai góc tương ứng)

Mà ta có: 

∠AGC+∠AGK=$180^o$ (kề bù)

∠AGK+∠AGK=$180^o$

2 . ∠AGK=$180^o$

⇒∠AGK=$\frac{180^o}{2}$=$90^o$

⇒AE⊥CK

c) Ta có: BD⊥AE

⇒BD là đường cao của ΔAEB

Ta có: AC⊥BC (ΔABC vuông tại C)

⇒ AC là đường cao của ΔAEB

Ta có: EK⊥AB

⇒EK là đường cao của ΔAEB

Theo định lí tính chất ba đường cao tam giác:

⇒AC, BD, EK cùng đi qua một điểm.