tìm số nguyên n để `n^2+6n+14` là số chính phương

Vì `n^2 + 6n + 14`  là số chính phương nên ta đặt:

     `n^2 + 6n + 14 = a^2`  `(a \in N)`

Ta có: `n^2 + 6n + 14 = a^2`

     `<=>` `(n^2 + 6n + 9) + 5 = a^2`

     `<=>` `(n + 3)^2 + 5 = a^2`

     `<=>` `5 = a^2 - (n+3)^2`

     `<=>` `5 = (a - n - 3)(a + n + 3)`

Do đó ta có:

     Trường hợp 1:

$\begin{cases} a + n + 3 = 1\\a - n - 3 = 5 \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} (a + n + 3)-(a - n - 3) = 1 - 5\\a = 5 + 3 + n \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} 2n+6 = -4\\a = 8+n \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} n=-5\\a=3 \end{cases}$

     `=>` $n=-5$

     Trường hợp 2:

$\begin{cases} a + n + 3 = 5\\a - n - 3 = 1 \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} (a + n + 3)-(a - n - 3) = 5 - 1\\a = 1 + 3 + n \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} 2n+6 = 4\\a = 4+n \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} n=-1\\a=3 \end{cases}$

     `=>` $n=-1$

     Trường hợp 3:

$\begin{cases} a + n + 3 = -1\\a - n - 3 = -5 \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} (a + n + 3)-(a - n - 3) = -1 - (-5)\\a = -5 + 3 + n \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} 2n+6 = 4\\a = -2+n \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} n=-1\\a=-3 \end{cases}$

     `=>` $n=-1$

     Trường hợp 4:

$\begin{cases} a + n + 3 = -5\\a - n - 3 = -1 \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} (a + n + 3)-(a - n - 3) = -5 - (-1)\\a = -1 + 3 + n \end{cases}$ $\\$ `<=>` $\begin{cases} 2n+6 = -4\\a = 2+n \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} n=-5\\a=-3 \end{cases}$

     `=>` $n=-5$

Tổng hợp các trường hợp, suy ra: `x \in {`$-5 ; -1$`}`

Vậy, `x \in {`$-5 ; -1$`}` là các số cần tìm.