Bài 3. (2.75 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, có AH là tin phân giác của $\widehat{BAC}$(H$\bot$BC), vẽ HE vuông góc với AB(E $\in$ AB),về HI vuông góc với AC (I $\in$ AC). Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho EN = EH a) Chứng minh $\triangle$AHE= $\triangle$AHI và AN=  AH b) Trên tia đối của tia IH lấy điểm M sao cho IM=IH. Chứng minh AH $\bot$ MN c) Gọi D là giao điểm của AE và MN; vẽ DK vuông góc với AN (K$\in$AN). Chứng minh 2.IM>HK

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHE,\Delta AHI$ có:

$\hat E=\hat I(=90^o)$

Chung $AH$

$\widehat{HAE}=\widehat{HAI}$ vì $AH$ là phân giác $\hat A$

$\to \Delta AHE=\Delta AHI$(cạnh huyền-góc nhọn)

Xét $\Delta AEH,\Delta AEN$ có:

Chung $AE$

$\widehat{AEH}=\widehat{AEN}(=90^o)$

$EH=EN$

$\to \Delta AHE=\Delta ANE(c.g.c)$

$\to AH=AN$

b.Từ câu a $\to HE=HI$

$\to 2HE=2HI$

$\to HN=HM$

Xét $\Delta AIH,\Delta AIM$ có:

Chung $AI$

$\widehat{AIH}=\widehat{AIM}(=90^o)$

$IH=IM$
$\to\Delta AIH=\Delta AIM(c.g.c)$

$\to AH=AM$

$\to AN=AM(=AH)$

Vì $AN=AM, HN=HM\to A, H\in$ trung trực $MN$

$\to AH$ là trung trực $MN$

$\to AH\perp MN$

c.Ta có: $AH\perp MN\to DN\perp AH$

               $HE\perp AB\to AD\perp NH$

$\to D$ là trực tâm $\Delta ANH$

$\to DH\perp AN$

Mà $DK\perp AN$

$\to H, D, K$ thẳng hàng

$\to HK\perp AN$

$\to \Delta NKH$ vuông tại $K$

$\to HK<HN=HM=2IM$