Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD.Gọi M và N theo thứ tự trung điểm của các đoạn AH và DH. a) chứng minh MN//AD b)gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành. c) chứng minh tam giác ANI vuông tại N

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a, Xét `ΔAHD` có:

`AM=MH` (`M` là trung điểm của `AH`)

`DN=NH` (`N` là trung điểm của `DH`)

`=> MN` là đường trung bình của `ΔAHD` (Định nghĩa đường trung bình)

`=> MN///AD` (Định lí 2 của đường trung bình)

b, +) Ta có : `MN///AD` (Câu `a`)

`AD///BC` (`2` cạnh đối của hình chữ nhật `ABCD`; Tính chất của hình chữ nhật)

`=> MN///BC` (Tính chất `3` đường thẳng song song)

Hay: `MN///BI`

+) Ta có:

`MN=1/2 AD` (`MN` là đường trung bình của `ΔAHD`; Định lí `2` của đường trung bình)

 `BI=1/2 BC` (`I` là trung điểm của `BC`)

Mà: `AD=BC` (`2` cạnh đối của hình chữ nhật `ABCD`; Tính chất của hình chữ nhật)

`=> MN=BI`

Xét tứ giác `BMNI` có:

`MN///BI (cmt)`

`MN=BI (cmt)`

`=>` Tứ giác `BMNI` là hình bình hành

c, +) Ta có: `MN///AD` (Câu a)

`AD⊥AB` (Hình chữ nhật `ABCD`; Tính chất của hình chữ nhật)

`=> MN⊥AB` (Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong `2` đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại)

+) Xét `ΔABN` có:

`AH⊥BN` (`H` là chân đường vuông góc kẻ từ `A` đến `BD`)

`MN⊥AB (cmt)`

Mà `AH `giao `MN` tại `M`

`=> M` là trực tâm của `ΔABN`

`=> BM⊥AN`

+) Ta có: `BM///NI` (`2` cạnh đối của hình bình hành `BMNI`; Tính chất của hình bình hành)

 `BM⊥AN (cmt)`

`=> NI⊥AN` (Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong `2` đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại)

`=> ΔANI` vuông tại `N`