Câu 15:(3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại 4 và có đường phân giác BE ( E thuộc cạnh AC). Kẻ EH vuông góc với BC (H$\in$BC). 1) Tỉnh $\widehat{BAC}$ 2) Chứng minh $\widehat{ABE}$ = $\widehat{CBE}$ và $\triangle$ABE = $\triangle$HBE 3) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. 4) Gọi AK là đường cao của tam giác ABC . Chúng minh AB+AC

Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A\to \widehat{BAC}=90^o$

2.Vì $BE$ là phân giác $\hat B$

$\to \widehat{ABE}=\widehat{CBE}$

Xét $\Delta ABE,\Delta HBE$ có:

$\widehat{ABE}=\widehat{HBE}$

Chung $BE$

$\widehat{BAE}=\widehat{BHE}(=90^o)$

$\to \Delta ABE=\Delta HBE$(cạnh huyền-góc nhọn)

3.Từ câu  2$\to BA=BH, EA=EH$

$\to B, E\in$ trung trực $AH$

$\to BE$ là trung trực $AH$

4.Kẻ $HD\perp AC$

Ta có: $AK//EH(\perp BC)$

            $EA=EH\to \Delta AEH$ cân tại $E$

$\to \widehat{HAE}=\widehat{AHE}=\widehat{HAK}$

$\to AH$ là phân giác $\widehat{KAC}$

Mà $HK\perp AK, HD\perp AC\to HK=HD, AK=\sqrt{AH^2-HK^2}=\sqrt{AH^2-DH^2}=AD$

$\to AB+AC=BH+(AD+DC)=BH+(AD+DC)=BH+AD+DC<BH+AD+HC=(BH+HC)+AD=BC+AD=BC+AK$