Câu 9, (1,0 điểm).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =$\frac{44}{|x+5|+|x+2|+|x-7|+|x-8|}$ 

Đáp án: Vậy GTLN của $M$ là $2$ khi $-2\le x\le 7$

Giải thích các bước giải:

$M=\dfrac{44}{\left| x+5 \right|+\left| x+2 \right|+\left| x-7 \right|+\left| x-8 \right|}$

$M=\dfrac{44}{\left| x+5 \right|+\left| x-8 \right|+\left| x+2 \right|+\left| x-7 \right|}$

$M=\dfrac{44}{\left| x+5 \right|+\left| 8-x \right|+\left| x+2 \right|+\left| 7-x \right|}$

Áp dụng BĐT $\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|$, ta có:

     $\left| x+5 \right|+\left| 8-x \right|\ge \left| x+5+8-x \right|=\left| 13 \right|=13$

     $\left| x+2 \right|+\left| 7-x \right|\ge \left| x+2+7-x \right|=\left| 9 \right|=9$

Vậy: $\left| x+5 \right|+\left| x-8 \right|+\left| x+2 \right|+\left| 7-x \right|\ge 13+9$

$\Rightarrow \left| x+5 \right|+\left| x-8 \right|+\left| x+2 \right|+\left| 7-x \right|\ge 22$

$\Rightarrow \dfrac{44}{\left| x+5 \right|+\left| x-8 \right|+\left| x+2 \right|+\left| 7-x \right|}\le \dfrac{44}{22}$

$\Rightarrow M\le 2$

$\Rightarrow $Giá trị lớn nhất của $M$ là $2$

Dấu “=” xảy ra khi $\left( x+5 \right)\left( 8-x \right)\ge 0$ và $\left( x+2 \right)\left( 7-x \right)\ge 0$

$\Rightarrow -5\le x\le 8$ và $-2\le x\le 7$

$\Rightarrow -2\le x\le 7$

Vậy GTLN của $M$ là $2$ khi $-2\le x\le 7$