Câu 8. (2,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, BC =10cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=6cm. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cạnh AC tại M, cắt tia BA tại N. a) Tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC. b) Chứng minh: MA = MD và tam giác MNC cân. c) Gọi I là trung điểm của CN . Chứng minh: ba điểm B, M, I thẳng hàng.

a)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lý Pytago)

${{10}^{2}}={{6}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$100=36+A{{C}^{2}}$

$A{{C}^{2}}=100-36$

$A{{C}^{2}}=64$

$\Rightarrow AC=8cm$

Vậy $AB<AC<BC\,\,\,\left( 6cm<8cm<10cm \right)$

Nên $\widehat{C}<\widehat{B}<\widehat{A}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

b)

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $A$ và $\Delta DBM$ vuông tại $D$, ta có:

   $BM$ là cạnh chung

   $BA=BD=6cm$

Nên \[\Delta ABM=\Delta DBM\left( ch-cgv \right)\]

Do đó $MA=MD$

Xét $\Delta MAN$ vuông tại $A$ và $\Delta MDC$ vuông tại $D$, ta có:

   $\widehat{AMN}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh)

   $MA=MD\left( cmt \right)$

Nên $\Delta MAN=\Delta MDC\left( cgv-gn \right)$

Do đó $MN=MC$

Vậy $\Delta MNC$ cân tại $M$

c)

Ta có $\Delta ABM=\Delta DBM\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{ABM}=\widehat{DBM}$

Do đó $BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$   $\left( 1 \right)$

Ta có:

     $BA=BD=6cm$

     $AN=DC$ (vì $\Delta MAN=\Delta MDC$)

Nên $BN=BC$

Xét $\Delta BNI$ và $\Delta BCI$, ta có:

   $BN=BC\left( cmt \right)$

   $BI$ là cạnh chung

   $NI=CI$ ($I$ là trung điểm của $CN$)

Nên $\Delta BNI=\Delta BCI\left( c.c.c \right)$

Do đó $\widehat{NBI}=\widehat{CBI}$

Vậy $BI$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra ba điểm $B,M,I$ thẳng hàng