Bài 4: (1 điểm) a) Chứng tỏ rằng: nếu a-b+c=0 thì x=−1 là một nghiệm của đa thức f(x)= $ax^2 +bx+c$ b) Cho q(x)=$ x^8–101x^7 +101x^6 −101x^5 +…+101x^2 −101x+2022$. Tính q(100).

Đáp án:

a) $x=-1$ là nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ nếu $a-b+c=0$

b) $q\left( 100 \right)=1922$

Giải thích các bước giải:

a)

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$

Ta có $f\left( -1 \right)=a.{{\left( -1 \right)}^{2}}+b.\left( -1 \right)+c=a-b+c$

Mà $a-b+c=0$ nên $f\left( -1 \right)=0$

Vậy $x=-1$ là nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ nếu $a-b+c=0$

b)

$q\left( x \right)={{x}^{8}}-101{{x}^{7}}+101{{x}^{6}}-101{{x}^{5}}+...+101{{x}^{2}}-101x+2022$

Với $x=100$ thì $x+1=101$, khi đó:

$q\left( 100 \right)={{x}^{8}}-\left( x+1 \right){{x}^{7}}+\left( x+1 \right){{x}^{6}}-\left( x+1 \right){{x}^{5}}+...+\left( x+1 \right){{x}^{2}}-\left( x+1 \right)x+2022$

$q\left( 100 \right)={{x}^{8}}-{{x}^{8}}-{{x}^{7}}+{{x}^{7}}+{{x}^{6}}-{{x}^{6}}-{{x}^{5}}+...+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-x+2022$

$q\left( 100 \right)=-x+2022$

$q\left( 100 \right)=-100+2022$

$q\left( 100 \right)=1922$